หวยล็อก รถนายก ความน่าจะเป็น และ Bayesian Inference

มีเพื่อนใน Facebook แชร์ลิงค์จาก ThaiPublica ว่าเลขทะเบียนรถนายกตรงกับหวย 8 งวดจาก 63 งวด  (ทั้งหมดเป็นเลขท้ายสองและสามตัว หรือเลขท้ายรางวัลที่ 1) แปลว่าน่าจะมีการล็อคหรือไม่

ผมก็ไม่แน่ใจว่ามีการล็อคหรือไม่ แต่คิดว่าอาจจะเป็นความบังเอิญเพราะมีรถที่เกี่ยวข้องหลายคันก็ได้ ยกตัวอย่างเช่น ถ้ามีรถเป็นร้อยคัน ก็น่าจะมีเลขทะเบียนสักอันตรงกับหวยเกือบทุกงวด จึงทดลองคำนวณดูว่าความน่าจะเป็นต่างๆที่เกี่ยวข้องว่ามากน้อยอย่างไร และพบว่าถ้าไม่มีการล็อคเลขหวย เราสามารถใช้ Bayesian Inference ประมาณจำนวนรถที่นายกใช้ว่ามีประมาณ 6 ± 2 คัน

รายละเอียดการคำนวณอยู่ที่ http://www.atriumtech.com/ko/mathematica/PooLottery/ ครับ

ตัวอย่างการใช้ Mathematica ช่วยนับของให้ครับ

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=44 แล้วครับ

วัดความถี่เสียงด้วยไมโครโฟน คอมพิวเตอร์ และโปรแกรม Spectrum Analyzer และเล่นแก้วน้ำร้องเพลงกับเด็กอนุบาล

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=51 แล้วครับ

ดูการ์ตูนการแกว่งลูกตุ้ม ดูสะพานแขวนพัง และเล่นแก้วน้ำร้องเพลง

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=52 แล้วครับ

เลขท้ายสองตัวที่ผ่านมา

สืบเนื่องจากโพสท์เรื่องใบ้เลขเด็ดที่ผมเขียนไปครับ ผมลองไปดูว่าเลขท้ายสองตัวที่ออกมา 158 ครั้งที่ผ่านมาออกเลขไหนมากเลขไหนน้อยครับ ผลที่ได้เป็นดังนี้สำหรับเลข 00, 01, 02, ..., 98, 99:

เลขท้ายสองตัวเป็นไปได้ทั้งหมด 100 แบบ ตั้งแต่ 00 ไปถึง 99  เมื่อดูในข้อมูล 158 งวดถ้าทุกตัวเลขออกเท่าๆกันก็ต้องออก 1.58 ครั้ง (ที่วาดเป็นเส้นประ) แต่ในความเป็นจริงเลขบางตัวออกมากกว่า 1.58 ครั้ง เลขบางตัวออกน้อยกว่า 1.58 ครั้ง แต่การกระจายรอบๆ 1.58 คล้ายๆกับเป็นเลขที่สุ่มออกมา ไม่สามารถชี้ว่าเลขท้ายสองตัวไหนออกมามากหรือน้อยอย่างผิดปกติครับ (เพราะจำนวนที่เราดูมันน้อย มีแค่ 158 ตัว จำนวนครั้งที่มากๆหรือน้อยๆมันอาจจะเกิดจากความฟลุ้คได้ง่ายๆ)

ผมดูการแจงแจงข้อมูลของตัวเลข 0-9 ในเลขท้าย 2 ตัวและเลขท้าย 3 ตัวด้วย และไม่พบว่ามีเลขไหนออกผิดปกติครับ  หวยออกงวดหน้าผมคงใบ้ตัวเลขสุ่มเหมือนเดิม :-)

ปล. ตารางข้อมูลสำหรับเลขท้ายสองตัวเป็นดังนี้ครับ:

ตัวเลข	จำนวนครั้งที่ออก
00	1
01	1
02	1
03	2
04	0
05	5
06	2
07	1
08	1
09	2
10	3
11	3
12	4
13	1
14	1
15	1
16	0
17	2
18	1
19	0
20	1
21	0
22	2
23	1
24	2
25	3
26	3
27	2
28	1
29	2
30	1
31	0
32	1
33	2
34	2
35	2
36	2
37	0
38	0
39	0
40	0
41	3
42	1
43	3
44	3
45	2
46	1
47	0
48	3
49	2
50	2
51	1
52	0
53	1
54	1
55	2
56	2
57	0
58	2
59	2
60	0
61	1
62	2
63	1
64	2
65	1
66	3
67	3
68	2
69	4
70	0
71	3
72	0
73	2
74	0
75	1
76	3
77	1
78	0
79	1
80	2
81	4
82	0
83	0
84	0
85	4
86	1
87	2
88	3
89	0
90	0
91	1
92	2
93	4
94	2
95	2
96	4
97	4
98	2
99	1

ใบ้เลขเด็ด

เมื่อวานเป็นวันหวยออก ผู้คนใน Facebook ต่างกล่าวกันถึงหวยตั้งแต่เช้า ผมจึงร่วมสนุกด้วยโดยการให้เลขเด็ดซะเลย โดยผมเลือกสุ่มเลขมาสี่ตัวเป็น 0 3 8 7:

พอดีมีคนถามว่ามีหลักการอะไรไหมในการให้ตัวเลข ผมก็บอกไปว่าผมเดามั่วเลย แต่ถ้าถูกคนก็จะจำได้ พอผมกลับบ้านผมเลยสงสัยว่าในตัวเลข 0-9 เนี่ย มีตัวเลขไหนออกมากกว่าชาวบ้านไหม ผมเลยไปโหลดเลขหวยที่ออกย้อนหลังไปถึง 30 ธันวา 2548 แล้วมานับดูว่า 0 ออกกี่ครั้ง 1 ออกกี่ครั้ง ไปเรื่อยๆจนถึง 9 ออกกี่ครั้ง

ผมได้ตัวเลขมาทั้งหมด 159,580 ตัว ดังนั้นถ้าไม่มีเลขไหนออกมากกว่าเลขอื่นเป็นพิเศษแล้ว เลข 0-9 ก็ควรออกมาไม่ห่างจาก 15,958 ครั้งนัก  ผลจากการนับคือ

ตัวเลข	จำนวนครั้งที่ออก
0	15863
1	15929
2	16097
3	15959
4	15770
5	16009
6	15893
7	15881
8	16050
9	16129

แม้ว่าบางเลขจะออกมาก บางเลขจะออกน้อย แต่จำนวนครั้งที่ออกก็ใกล้เคียงกับ  15,958 ไม่มีเลขใดออกมากหรือออกน้อยเป็นพิเศษครับ

กราฟจำนวนครั้งดูเป็นอย่างนี้ครับ (เส้นประคือ 15,958 และโชว์ช่วงระหว่าง 15,000 ถึง 16,300 จะได้เห็นชัดๆ ถ้าโชว์ตั้งแต่ 0 ถึง 16,300 จะเห็นจุดต่างๆทาบเส้นประหมดเลย):

*** * **** * ****** *********
ปล. รายละเอียดเผื่อมีใครอยากทำคล้ายๆกันบ้าง

1. สำหรับผู้ที่สนใจเรื่องสถิติ Pearson's chi-square เป็นดังนี้ครับ (ผมป้อนเข้า R แทน Mathematica เพราะกำลังทดลองใช้ R ทำงานบริษัทอยู่ครับ):

> chisq.test(c(15863, 15929, 16097, 15959, 15770, 16009, 15893, 15881, 16050, 16129), p=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1))

Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15863, 15929, 16097, 15959, 15770, 16009, 15893, 15881, 16050,      16129)
X-squared = 7.2059, df = 9, p-value = 0.6157

2. ผมไปโหลดหน้าเว็บผลล็อดเตอรี่จาก http://lotto.mthai.com/ ครับ

3. ผมใช้ BeautifulSoup มาดึงข้อมูลออกจากหน้าผลล็อตเตอรี่ครับ

4. ใช้ Mathematica วาดกราฟดังนี้ครับ: 

ListPlot[data, PlotStyle -> PointSize[0.02], Filling -> Axis, 

 PlotRange -> {15000, 16300}, 

 AxesLabel -> {"ตัวเลข", "จำนวนครั้งที่ออก"}, 

 Epilog -> {Dashed, Line[{{0, 15958}, {9, 15958}}]}]

สร้าง Bifurcation Diagram แบบง่ายๆ

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=113 แล้วครับ

เทียบพลังงานระหว่างระเบิดนิวเคลียร์และแผ่นดินไหว

วันนี้ผมพึ่งพบว่าพลังงานที่ถูกปลดปล่อยจากแผ่นดินไหวที่ญี่ปุ่นเมื่อวันที่ 11 มีนาคม 2554 นั้น มากกว่า ระเบิดนิวเคลียร์ที่ถูกทิ้งที่ฮิโรชิมา (หรือนางาซากิ) เป็นล้านลูก

พลังงานจากแผ่นดินไหวขนาด 9.0 จะเท่ากับ 1.3 x 10^20 จูล หรือเท่ากับแรงระเบิดของ TNT 32 พันล้านตัน

พลังงานจากระเบิดนิวเคลียร์ที่ฮิโรชิมา เท่ากับ 7 x 10^13 จูล หรือเท่ากับแรงระเบิดของ TNT 18,000 ตัน หรือเทียบได้กับพลังงานจากแผ่นดินไหวขนาดประมาณ 4.8 เท่านั้น

พลังงานจากระเบิดนิวเคลียร์ที่นางาซากิ เท่ากับ 9 x 10^13 จูล หรือเท่ากับแรงระเบิดของ TNT 21,000 ตัน หรือเทียบได้กับพลังงานจากแผ่นดินไหวขนาดประมาณ 4.9 เท่านั้น

เมื่อขนาดแผ่นดินไหวต่างกัน 1.0 พลังงานจะปล่อยออกมาต่างกันประมาณ 32 เท่า ถ้าต่างกัน 2.0 พลังงานก็จะปล่อยออกมาต่างกัน 1,000 เท่าพอดี เช่น พลังงานของ 9.0 จะมากกว่า 7.0 หนึ่งพันเท่าเป็นต้น

A Few Webpages For Math Teachers And Learners

If you are teaching math to kids or if you find math interesting, here are a few websites that you might enjoy.

The Virtual Math Tutor site contains solved math problems for high school and college levels.

Math Magic contains a bunch of mathematical puzzles that you might enjoy. The archive goes back to 1998.

Project Euler contains puzzles for math and programming. The intended audience would "...include students for whom the basic curriculum is not feeding their hunger to learn, adults whose background was not primarily mathematics but had an interest in things mathematical, and professionals who want to keep their problem solving and mathematics on the edge."

A Barnsley's Fern In 7 Lines of Mathematica

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=138 แล้วครับ

แก้สมการด้วยวิธีของนิวตัน

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=142 แล้วครับ

Doing Math Homework With Wolfram Alpha

I wonder how many kids will do their homework by hand if they find out that Wolfram Alpha can do most math homework for them.

For example, going to http://www.wolframalpha.com and type "solve x^2 + y^2 = 1 and x y = 1/2" will give you this page with graphs, symbolic and numerical solutions:

For some problems, Wolfram Alpha can provide step-by-step solution. For example, finding the derivative of 1/cos(x^2) gives the solution and related information. When we click on the "Show steps" link, we get to see this:

Integrals can be done easily. Typing "integrate 1/(1+ 2x + 5x^2)" and clicking "Show steps" gives you this:

Wolfram Alpha can provide step-by-step solutions for many of high school and college math problems I tried; standard math homework that asks the students to "show their work" would be easily done by Wolfram Alpha.

ปีนี้เป็นปีพิเศษ

ปีนี้ (พ.ศ. 2553 หรือ ค.ศ. 2010) เป็นปีพิเศษเพราะว่าเป็นปีที่อายุของผม ของภรรยา และของลูกทั้งสาม เป็นจำนวนเฉพาะหมดเลย และเราจะไม่มีโอกาสอย่างนี้อีกแม้ว่าเราจะมีชีวิตเป็นล้านปี :-)

ปล. อายุผมมากกว่าภรรยา 4 ปี ผมและภรรยามีลูกชายหนึ่งคนและลูกสาวสองคน (ไม่มีลูกแฝดเลย) อายุลูกแต่ละคนห่างกัน 2 ปี ลูกคนโตเกิดในปีที่ภรรยามีอายุ 30 ปี

ผมใช้การคำนวณแบบนี้ใน Mathematica เพิื่อดูว่าจะมีปีอย่างนี้อีกไหมในอีกประมาณสองล้านปี ที่อายุของทุกคนเป็นจำนวนเฉพาะ:

Select[Table[{k - 34, k - 32, k - 30, k, k + 4,

PrimeQ[k - 34] && PrimeQ[k - 32] && PrimeQ[k - 30] && PrimeQ[k] &&

PrimeQ[k + 4]}, {k, 0, 2000000

}], #[[6]] &]

คำตอบมีเพียง อายุ 3, 5, 7, 37, 41 เท่านั้น

เนื่องจากพวกเราคงมีอายุไม่เกินล้านปี ปีนี้จะเป็นปีเดียวที่พวกเราจะมีอายุเป็นจำนวนเฉพาะทุกคน :-)

ป.ป.ล. สิ่งที่ยากคือการที่จะหาจำนวนเฉพาะสามตัวเรียงกันอย่าง 3, 5, 7

ป.ป.ป.ล. 3, 5, 7 เป็นเลขชุด k, k+2, k+4 ชุดเดียวเท่านั้นที่ทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ พิสูจน์ใน comment ครับ

Chronology of Computation of π

π, the ratio between the circumference and the diameter of every circle on a flat plane, has been calculated to 5 trillion digits using a big personal computer in 2010.

Since π is irrational, the number of digits is infinite and we will calculate even more digits in the future. Beyond a few tens of digits or so, the exercise is done mostly to improve our computational techniques and to test hardware reliablity (and of course, some bragging rights.) Engineering calculations only need at most 16 digits to cover all conceivable projects on earth. All intergalactic calculations in the future should not require more than 64 digits or so.

Wikipedia has a chronology of the π computation and I've plotted the number of digits vs. year below. Note the log scale of the vertical axis.

There seem to be three phases of techniques/technologies involved in the computations of π throughout the history. The first part is from a few thousands years ago until 1400 A.D. or so where calculations were done mostly with geometric figures. The second part is from 1400 to 1900 A.D. where calculations were done manually using infinite series. The third part is after 1946 where electronic computers and fast-converging series were used. The three parts correspond to the three different slopes of the plot above.

After 1946, with electronic computers, the number of digits seems to grow approximately exponentially. This might reflect the exponential advance in computer speed since a small number of infinite series families were used in the computations. Here's the plot after 1946:

For more interesting info, check out Wikipedia's page on the history of π calculations.

Create Your Own Wolfram|Alpha Widget

Now you can use Wolfram|Alpha's extensive knowledge to do many useful or silly stuff. Here's my first widget.

เราจะตรวจสอบว่าเครื่อง GT200 ทำงานได้หรือไม่ได้อย่างไร

อ่านความเห็นผู้อ่านบางท่านที่ข่าวผ่าหลักการเครื่องตรวจระเบิด จับไต๋ GT200 แล้วรู้สึกเป็นกังวล บางท่านบอกว่าถ้าหาระเบิด 10 ครั้งแล้วเจอ 8 ครั้ง ก็สามารถสรุปได้ว่าเครื่องมือใช้ได้ ความเห็นนี้ฟังดูเผินๆก็เหมือนว่าจะใช้ได้ แต่จริงๆแล้วถึงจะหาระเบิดได้ 8 ครั้งจาก 10 ครั้งก็ยังไม่ควรสรุปว่า GT200 ใช้งานได้

ปัญหาก็คือ การตรวจจับเพียง 10 ครั้งนั้น จำนวนครั้งยังน้อยอยู่ โอกาสที่จะตรวจได้เจอ 8 ครั้งหรือมากกว่านั้นยังสูงอยู่แม้ว่าเครื่องจะเดาสุ่มก็ตาม

แล้วเราควรจะทดลองอย่างไรดี วิธีที่นิยมใช้ตรวจสอบประสิทธิภาพของอุปกรณ์หรือยาต่างๆว่ามีประสิทธิภาพไหมก็คือ Double-blinded study ในกรณี GT200 เราสามารถทำได้อย่างนี้

1. หาผู้เชี่ยวชาญการใช้งาน GT200 มาเป็นผู้หาระเบิดในการทดลอง

2. มีทีมวางระเบิดที่ไม่รู้จักกับผู้ใช้งานในข้อที่ 1 ที่จะทำการวางระเบิดให้ตรวจหา

3. มีกล่องทึบแสง 2 ใบ วางห่างกันสัก 10-20 เมตร หรือตามแต่ผู้ใช้งานในข้อ 1 คิดว่าจำเป็น ถ้าใกล้กันเกินไปเดี๋ยวจะบอกว่าสัญญาณรบกวนกัน

4. เอาผู้ใช้งานในข้อ 1 ไปหลบไม่ให้เห็นการวางระเบิด

5. ทีมวางระเบิด โยนเหรียญหัวก้อย ถ้าออกหัวให้ใส่ระเบิดไว้ใต้กล่องที่หนึ่ง ถ้าออกก้อยให้วางระเบิดไว้ใต้กล่องที่สอง กล่องต้องปิดบังระเบิดไว้ได้อย่างมิดชิด ไม่สามารถตรวจสอบได้ง่ายด้วยวิธีทั่วไป (เช่น มอง เคาะแล้วฟัง เอาแสงส่องด้านหลัง ดูรอยมือหรือรอยเท้าแถวกล่อง ฯลฯ) ถ้าคิดว่าโยนเหรียญอาจจะไม่สุ่มเพียงพอ อาจใช้การเขย่าลูกเต๋าดูว่าออกคู่หรือคี่ หรือให้คอมพิวเตอร์ออกเลขสุ่่มให้ ระเบิดไม่ต้องตั้งเวลาหรือต่อชนวนไว้ เพราะเราไม่ต้องการให้เกิดการระเบิดจริงๆ เพียงแต่ให้มีสารระเบิดอยู่ในกล่องใดกล่องหนึ่งเท่านั้น เมื่อวางระเบิดเสร็จก็กลบเกลื่อนร่องรอยให้เรียบร้อย อย่าทิ้งรอยเท้ารอยมืออะไรไว้

6. เอาทีมวางระเบิดไปหลบไม่ให้เห็นการค้นหาระเบิด ทีมจะได้ไม่แสดงอาการต่างๆให้ผู้ค้นหาระเบิดอ่านอาการได้

7. ให้ผู้ใช้งานในข้อ 1 ค้นหาระเบิดว่าอยู่ใต้กล่องไหน

8. จดผลว่าตรวจพบได้ถูกต้องหรือไม่

9. กลับไปทำข้อ 4-9 หลายๆครั้ง เช่นสัก 100 ครั้ง

ถ้าทำ 100 ครั้งแล้วทายถูกถึง 80 ครั้งหรือมากกว่า เราก็จะรู้ว่า GT200 น่าจะทำงานได้จริงๆ เพราะโอกาสที่จะมั่วแล้วถูกแบบนั้นจะมีประมาณหนึ่งในสองพันล้านเท่านั้น (สำหรับผู้สนใจ การคำนวณความน่าจะเป็นใช้ binomial distribution สำหรับ n=100; k = 80, 81,..., 100; p = 0.5)

เราควรจะสนใจว่า GT200 อาจจะทำงานได้เมื่อสามารถตรวจพบเกิน 80 ครั้ง หรือน้อยกว่า 20 ครั้ง (เพราะถ้าพบน้อยกว่า 20 เราก็เลือกกล่องตรงข้ามกับ GT200 แล้วเราก็จะพบระเบิด 80 ครั้ง) ถ้า GT200 ทำงานแบบมั่วๆ ผู้ใช้งานก็จะพบระเบิดประมาณ 40-60 ครั้ง เป็นปกติอยู่แล้ว

หลักการนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้ตรวจสอบเครื่องรางของขลัง ยาวิเศษ และของแปลกๆอื่นๆได้อีกมากมายครับ ถ้าจะให้ดีควรหาที่ปรึกษาเป็นนักเล่นกลด้วย เขาจะได้ช่วยดูว่าการทดลองของเรามีช่องโหว่ให้เล็ดรอดอย่างไรได้บ้าง

ประชาธิปไตย: เครื่องขยายความฉลาด+ความดี (และความโง่+ความเลว)*

 
(เพิ่มเติม 17/6/2559: ในการเลือกตั้งระดับประเทศผมเลิกโหวตให้ใครไปหลายปีแล้วครับหลังจากเห็น ว่าประชาธิปไตยมันเป็นป้ายแสดงความชอบธรรมให้กลุ่มทุนต่างๆมาแสวงหาอำนาจและผลประโยชน์ หน้าที่ที่ผมพอจะทำได้คือทำให้ p ของคนรอบตัวสูงขึ้น คือถูกหลอกน้อยลง

ปัญหาคือประชาชนคิดว่าได้มีประชาธิปไตย แต่ในการปกครองจริงๆเป็นการปกครองเพื่อประโยชน์ของผู้ได้รับเลือกตั้งและพวก พ้อง แถมได้อ้างความชอบธรรมจากกระบวนการเลือกตั้งอีก ผมไม่ได้บอกว่าผมต่อต้านประชาธิปไตยนะครับ เพียงแต่เสนอว่าตรงไหนมันจะมีปัญหา จะได้แก้ตรงนั้น

ดูๆคร่าวๆทั่วโลกประเทศที่บอกว่ามีประชาธิปไตยตอนนี้มันโดนปกครองโดย Oligarch หรือ Plutocrats กันซะเยอะแล้วน่ะครับ ผมก็ไม่รู้นะครับว่าจะแก้ปัญหาอย่างไร เป็นพวกชอบบ่นแต่ทำไม่เป็นน่ะครับ :-D
สมมุติฐานผมอย่างหนึ่งคือพอคนมีคุณภาพชีวิตพื้นฐานดีแล้วจะถุกเอาเปรียบยาก ขึ้น สามารถรักษาสิทธิตัวเองดีขึ้น ก็เลยได้แต่หวังลึกๆว่าความรู้ทางวิทย์และเทคโนจะทำให้ปัจจัยการดำรงชีวิต มันถูกและดีขึ้นมากๆครับ)

มีแบบจำลองง่ายๆที่แสดงว่า เวลาเราตัดสินใจด้วยการลงมติด้วยเสียงส่วนใหญ่ ถ้าเอาคนฉลาดมารวมกันแล้วลงมติ ผลมักจะดีขึ้นกว่าคนเดียว ถ้าเอาคนโง่มารวมกันแล้วลงมติ ผลมักจะแย่ลง ยิ่งมีคนมารวมกันมากเท่าไรก็ยิ่งทำให้ผลดีขึ้นหรือแย่ลงมากขึ้นเท่านั้น

ถ้าท่านไม่สนใจคณิตศาสตร์กระโดดไปส่วนสรุปด้านล่างเลยครับ

มันเป็นอย่างนี้ครับ เราสมมุติว่ามีคนเป็นจำนวนคี่ = n คน และให้แต่ละคนมีโอกาสตัดสินใจในทางที่ถูกที่ควรด้วยความน่าจะเป็นเฉลี่ย = p และแต่ละคนตัดสินใจอย่างอิสระต่อกัน ดังนั้นโอกาสที่มติประชาธิปไตยจะตัดสินใจถูกก็คือ ความน่าจะเป็นที่คนเกินครึ่ง (หรืออย่างน้อย (n+1)/2 จาก n คน) ตัดสินใจถูก

เรากำหนดว่า probRightChoice(n,p) คือความน่าจะเป็นที่คนอย่างน้อย (n+1)/2 จาก n คนตัดสินใจถูกถ้าแต่ละคนมีโอกาสถูก p ดังนั้น probRightChoice(n,p) = ผลรวมของความน่าจะเป็นที่คน k คนจาก n คนตัดสินใจถูก โดยที่ k เริ่มจาก (n+1)/2 และเพิ่มไปทีละหนึ่งจนถึง n เช่นถ้ามีคนห้าคนมาลงมติ เราก็ต้องดูความน่าจะเป็นที่คน 3, 4, 5 คนตัดสินใจถูกแล้วรวมความน่าจะเป็นเหล่านั้น

คราวนี้ความน่าจะเป็นที่คน k คนจาก n คนตัดสินใจถูก = ความน่าจะเป็นที่คน k คนตัดสินใจถูก คูณด้วยความน่าจะเป็นที่คน n-k คนตัดสินใจผิด คูณด้วยจำนวนแบบที่เป็นไปได้ที่คน k คนตัดสินใจถูกและคน n-k คนตัดสินใจผิด

= p^k (1-p)^n-k C(n,k) โดยที่ C(n,k) = จำนวนแบบที่เป็นไปได้ที่คน k คนตัดสินใจถูกและคน n-k คนตัดสินใจผิด และ C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)

= p^k (1-p)^n-kn!/(k!(n-k)!)

ดังนั้น probRightChoice(n,p) = ผลรวมของ p^k (1-p)^n-kn!/(k!(n-k)!) โดยที่ k เริ่มจาก (n+1)/2 และเพิ่มไปทีละหนึ่งจนถึง n (ดูหน้าตาข้างล่างนะครับ)

ปรากฏว่า ถ้า p มากกว่า 1/2 (ซึ่งแปลว่าคนฉลาด) probRightChoice(n,p) จะมากกว่า p เสมอ ถ้าจำนวนคนลงมติ (n) มีตั้งแต่สามคนขึ้นไป และยิ่ง n มากเท่าไร probRightChoice(n,p) ก็ยิ่งมากกว่า p ขึ้นไปอีก

ในทางกลับกัน ถ้า p น้อยกว่า 1/2 probRightChoice(n,p) จะน้อยกว่า p เสมอ ถ้าจำนวนคนลงมติ (n) มีตั้งแต่สามคนขึ้นไป และยิ่ง n มากเท่าไร probRightChoice(n,p) ก็ยิ่งน้อยกว่า p ลงไปอีก

สรุป

ดังนั้นเราจึงกล่าวว่าประชาธิปไตยจะเป็นเครื่องขยาย เน้นความโง่หรือความฉลาดของผู้ลงมติ

ถ้าต้องการไม่ให้ประชาธิปไตยมาทำร้ายสังคมต้องแน่ใจว่า p มากกว่า 1/2 ครับ ขืนให้พวกโง่/เลวออกเสียง เราจะสิ้นชาติเอา

=== = ==== = ===== =========

*1. ในที่นี้ "ฉลาด" = ตัดสินใจถูกต้อง ตามที่ถูกที่ควร มีประโยชน์ต่อส่วนรวม และ "โง่" = ตัดสินใจไม่เป็นไปตามที่ถูกที่ควร พวกฉลาดแกมโกงเอาประโยชน์ใส่ตัว เบียดเบียนคนอื่นไม่นับเป็นพวก"ฉลาด"ในแบบจำลองนี้ครับ พวกนี้ไม่ควรมีเสียงในการรับใช้และปกครองสังคมที่เจริญแล้ว จริงๆต้องห้ามมายุ่งเกี่ยวกับอำนาจทั้งปวงครับ ชอบทำคนอื่นเดือดร้อน ควรลงโทษให้หนักเช่นโกงเลือกตั้งก็อย่าให้พวกมันทั้งเจ็ดชั่วโคตรมายุ่งกับการเมืองอีก

2. probRightChoice(n,p) มีหน้าตาดูน่ากลัวแบบนี้ครับ (บอกให้ Mathematica ทำให้ครับ):

แต่ความจริงก็เป็นแค่สูตรที่ดูไฮโซของผลรวมบางส่วนของ binomial probability distribution เท่านั้น ถ้ากระจายออกมาสำหรับ n = 1, 3, 5, 7 ก็จะมีหน้าตาบ้านๆดังนี้นั่นเอง:

3. probRightChoice(n,p) มีกราฟหน้าตาอย่างนี้ครับ:

จะเห็นได้ว่าถ้ามีคนมาลงมติมากๆ (เช่น n = 101 ในกราฟข้างบน) ถ้าแต่ละคนมีโอกาสตัดสินใจได้ถูกกว่าครึ่ง (p > 0.5) โอกาสที่มติของที่ประชุมจะถูกต้องสมควรแล้ว จะเข้าใกล้ 100% เลย ในทางกลับกันถ้าแต่ละคนมีโอกาสตัดสินใจถูกน้อยกว่าครึ่ง โอกาสที่มติที่ประชุมจะเข้าท่าจะเกือบไม่มีเลย

An Interesting Account Of How To Teach Math

At the University of Illinois Urbana-Champaign, there is a class called Calculus and Mathematica. The class is intended to address the problem of learning mathematics where students don't understand why they are learning a particular thing and forget most of the things they are supposed to learn after they are done with the class.

From the FAQ:

As Sue C. Heffelfinger,M.D. put it: "My husband and I suffered through many years of dull college math, I for one didn't learn anything about calculus until I took physical chemistry." Like Dr. Heffelfinger, when most people reflect on the math courses they took in college or high school, they get a hazy look on their face. Those who have been through a conventional mathematics class are often hard-pressed to explain what the course was about. They remember math was hard but often have little memory of what they actually learned.

Often these classes presented students with collections of "skills" which they were to memorize. The problem was that many folks forgot these skill shortly after they completed the class. The skills had to be memorized because they meant little to the students' intellects.

C&M courses address this problem using modern technology to concentrate on the ideas and concepts of mathematics treating the "skills" as ancillary but sometimes important. Former C&M students can rekindle the skills when they need them because they have the conceptual background to understand what the "skills" try to do.

Jerry Uhl, one of the instructors, has this to say about "Why and (how) I teach without long lectures."

I always told my students that all the learning is done in their brains, I am just a guy to tell them something interesting exists and cannot make them learn anything. This is why I find this class description of active learning appealing.

BTW, I've been wondering about learning with tools such as Mathematica before.

ปล. แนะนำ Mathematica เบื้องต้นภาษาไทย

Science Geek VS. The Rest Of The Brain

ผมชอบเปิดไทยรัฐอ่านครับ ชอบดูการ์ตูน โฆษณา หน้าวิทยาการ หน้ารถวันอาทิตย์(เมื่อก่อนชอบหน้าดาราด้วย แต่ดาราที่เราชอบอายุมากขึ้น ไทยรัฐเลยไม่ค่อยลงข่าวแล้ว) ดังนั้นเมื่อผมเห็นไทยรัฐวางกองที่ไหน ผมก็จะไม่รีรอที่จะไปเปิดอ่าน

วันนี้ไปพบโฆษณานี้ครับ:

วูบแรกผมก็ชอบทันที เพราะมีคุณหนูดีซึ่งเป็นผู้หญิงสวย(มาก) + ฉลาด(มาก) โพสท่าเล็งธนู รวมเป็นภาพรวมที่ผมคิดว่าสวยงามและ sexy มาก ถูกต้องตามหลักจิตวิทยาและโฆษณาที่ว่าถ้าผู้ชายเห็นอะไรที่ sexy ความสามารถในการคิดและตัดสินใจจะลดลงทันที (งาน Motor Show งานคอมพิวเตอร์ และงานกล้องถึงมีพริตตี้เต็มไปหมดไงครับ เป็นที่รวมของเล่น ลูกค้าผู้ชาย และผู้หญิงพริตตี้สวยๆ)

แต่ช้าก่อน Science Geek ที่สิงอยู่ก็ตะโกนดังลั่นหัวว่า "หยุดก่อน มีอะไรทะแม่งๆในรูป" สมองส่วนอื่นก็ตะโกนตอบว่า "เงียบๆน่า จะชื่นชมหนูดีเล็งธนู" แต่ Science Geek ไม่ยอม แล้วก็ลากตาไปโฟกัสที่จุดนี้:

สมองส่วนอื่นถามว่า "อะไร ไหน ดูอะไร 'คุณก็เป็นแบบหนูดีได้' เหรอ? เอาน่าใครๆก็รู้ว่าเขาพูดเกินจริงในการโฆษณา จะเป็นแบบหนูดีได้ต้องโชคดีในการเกิด เติบโต สภาพแวดล้อม ทำงานหนัก ไม่ย่อท้อต่ออุปสรรค มีความตั้งใจสูง ฯลฯ คนไม่กี่คนคงเป็นแบบหนูดีได้ และการที่หนูดีทานอะไรบางอย่าง แล้วเราทานของอย่างเดียวกันนั้น ไม่ได้หมายความว่าเราจะเป็นแบบหนูดีได้ ใช่ไหม" และ "กรุณาปล่อยโฟกัสตานะ จะชื่นชมหนูดีต่อ"

สมองส่วน Science Geek ก็กระแอมดังๆแล้วบอกว่า "ไม่ใช่ มองลงนิดนึง เห็นพาราโบลา และสมการระยะของธนูหรือเปล่า":

Science Geek ตะโกนต่อ (ท่ามกลางเสียงก่นด่าอื้ออึงของสมองส่วนอื่นที่อยากดูหนูดีต่อ) "เห็นไหมว่าหนูดีไม่ได้ใส่ชุดอวกาศ?" สมองส่วนชมสาว (ส่วนที่เสียงดังที่สุด ในบรรดาสมองส่วนอื่น) ก็สวนว่า "ก็ใช่นะเด่ะ แล้วไง อย่าเสียเวลาได้ไหม จะดู" Science Geek ก็เลยตะโกนบอกว่า "แสดงว่าหนูดียิงธนูในที่ที่มีอากาศใช่ไหม? สมการระยะของลูกธนู ไม่ได้คิดถึงแรงต้านอากาศ จำได้ไหมตอนที่อาอี๊ดให้ HP11C Scientific Calculator แล้วเราทำตาราง projectile ที่คิดถึงแรงต้านอากาศน่ะ?" พูดได้แค่นี้สมองส่วนอื่นก็ปล่อย electromagnetic pulses ทำให้ Science Geek สลบชั่วคราว แล้วก็เฮโลไปดูหนูดีต่อ

แล้วผมก็เสร็จโฆษณาตามเคย

ปล.

1. ตัวอย่างสมการของ projectile ที่รวมและไม่รวมแรงต้านอากาศที่นี่ และที่นี่ครับ ถ้าสนใจทดลองหาระยะต่างๆเองไปเล่นที่นี่ได้เลยครับ

2. ผมโชคดีที่ได้เล่น Scientific Calculator ที่อาอี๊ดที่เป็นวิศวกรเอามาให้ตอน ม.5 ทำให้ผมค้นพบว่าสิ่งน่าสนใจหลายๆอย่างเขียนเป็นสมการสั้นๆไม่ได้ ต้องแก้แบบ numerical methods เอา เดี๋ยวนี้เด็กมี Scientific Calculator และโปรแกรมต่างๆเต็มไปหมด ไม่ได้เป็นของวิเศษเหมือนเมื่อตอนผมเป็นเด็กแล้ว ผมเคยพล่ามเกี่ยวกับเรื่องนี้ที่ Better Understanding VS. Stupid GPA ครับ มีลิงค์ไปยัง essay สุดยอดเกี่ยวกับการเรียนรู้ของเด็กในสมัยนี้และทำไมการเรียนแบบมีข้อจำกัดแบบศตวรรษที่แล้วอาจจะทำให้เด็กเสียโอกาสในการเรียนรู้ครับ

3. จริงๆผมไม่ได้ยินเสียงสมองส่วนต่างๆนะครับ แต่ตาขยับไปมาระหว่างหนูดีกับสมการจริงๆ ยังไม่เป็น Schizophrenia ครับ เหตุการณ์ข้างบนเกิดในเวลาน้อยกว่าหนึ่งวินาที คำพูดเป็นการ(เดา)จำลองเหตุการณ์เป็นภาษาคนจากสัญญาณที่สมองส่วนต่างๆคิดและควบคุมร่างกายครับ

4. Series เรื่อง Math+Science Geek ครับ: มี Why Geeks Make Good Father..., ตีลูกให้ถึงดวงจันทร์ ถึงพลาดก็ยังอยู่ท่ามกลางดวงดาว, You Might Be A Math Geek If...

5. ตอนผมจีบคุณอ้อ เคยไปดูพระอาทิตย์ตกดินที่ริมทะเลครับ ผมเหยียดแขนออกไป ยืดนิ้วโป้งมาด้านข้าง ใช้นิ้วโป้งกะมุมระหว่างดวงอาทิตย์กับขอบทะเล เทียบบัญญัติไตรยางค์ แล้วคำนวณว่าอีกกี่นาทีดวงอาทิตย์จะชนขอบฟ้า แล้วรายงานคุณอ้อ เพราะคิดว่าเป็นสิ่งที่โรแมนติกมาก คุณอ้อได้แต่มองหน้าผมแล้วยิ้ม แล้วบอกว่า "พี่โก้ประหลาด" ไม่น่าเชื่อว่าเธอจะยอมแต่งงานกับผมนะครับ เวลาผมเห็นสารคดีชีวิตนก ที่นกตัวผู้เต้นท่าแปลกๆหรือทำอะไรโง่ๆเพื่อจีบตัวเมีย ผมก็จะคิดกลับไปถึงเวลานั้น และคิดว่าถ้าผมเป็นนก ผมคงไม่มีคู่แน่ๆ

You Might Be A Math Geek If...

... you just got back from your kids' school trip and you saw this headline in math.reddit.com:

r=3-3sin(t)+sin(t)sqrt(abs(cos(t)))/(sin(t)+1.4),

and you strongly suspected that this is a heart in polar coordinate, and you could not do anything else until you plotted it to know for sure.

Well, it happened to me and here is the picture:

I guess I have too much useless information in my head.  

Also, for an extra level of math-geekiness, here is a Sierpinski Valentine from one of my favorite web comic sites, xkcd:

I think it is a very funny play on the Sierpinski triangle, a famous fractal (a shape that exhibits self similarity, like clouds, beaches, rivers, leaves, etc.)

Anyway, if you fancy a girl or a boy who is into math, this info might come in handy next Valentine day, or not.

P.S.  My 3-year-old daughter Tatia took the picture below using my wife's DSLR during the school trip.  Either she is a very talented child or this confirms my belief that if you generate a lot of pictures, some are bound to be good!