หวยล็อก รถนายก ความน่าจะเป็น และ Bayesian Inference

มีเพื่อนใน Facebook แชร์ลิงค์จาก ThaiPublica ว่าเลขทะเบียนรถนายกตรงกับหวย 8 งวดจาก 63 งวด  (ทั้งหมดเป็นเลขท้ายสองและสามตัว หรือเลขท้ายรางวัลที่ 1) แปลว่าน่าจะมีการล็อคหรือไม่

ผมก็ไม่แน่ใจว่ามีการล็อคหรือไม่ แต่คิดว่าอาจจะเป็นความบังเอิญเพราะมีรถที่เกี่ยวข้องหลายคันก็ได้ ยกตัวอย่างเช่น ถ้ามีรถเป็นร้อยคัน ก็น่าจะมีเลขทะเบียนสักอันตรงกับหวยเกือบทุกงวด จึงทดลองคำนวณดูว่าความน่าจะเป็นต่างๆที่เกี่ยวข้องว่ามากน้อยอย่างไร และพบว่าถ้าไม่มีการล็อคเลขหวย เราสามารถใช้ Bayesian Inference ประมาณจำนวนรถที่นายกใช้ว่ามีประมาณ 6 ± 2 คัน

รายละเอียดการคำนวณอยู่ที่ http://www.atriumtech.com/ko/mathematica/PooLottery/ ครับ

ความน่าจะเป็นที่เซ็นทรัล

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=169 แล้วครับ

ความน่าจะเป็นในงานวัด

ย้ายไป http://witpoko.com/?p=200 แล้วครับ

How Adsense Was Born

I stumbled on this interesting account of how Google's ubiquitous Adsense (the ads from Google that you see everywhere) was born. Humans are not smart enough to predict most things, so one way to see if anything works is to actually make a prototype and see.

ประชาธิปไตย: เครื่องขยายความฉลาด+ความดี (และความโง่+ความเลว)*

 
(เพิ่มเติม 17/6/2559: ในการเลือกตั้งระดับประเทศผมเลิกโหวตให้ใครไปหลายปีแล้วครับหลังจากเห็น ว่าประชาธิปไตยมันเป็นป้ายแสดงความชอบธรรมให้กลุ่มทุนต่างๆมาแสวงหาอำนาจและผลประโยชน์ หน้าที่ที่ผมพอจะทำได้คือทำให้ p ของคนรอบตัวสูงขึ้น คือถูกหลอกน้อยลง

ปัญหาคือประชาชนคิดว่าได้มีประชาธิปไตย แต่ในการปกครองจริงๆเป็นการปกครองเพื่อประโยชน์ของผู้ได้รับเลือกตั้งและพวก พ้อง แถมได้อ้างความชอบธรรมจากกระบวนการเลือกตั้งอีก ผมไม่ได้บอกว่าผมต่อต้านประชาธิปไตยนะครับ เพียงแต่เสนอว่าตรงไหนมันจะมีปัญหา จะได้แก้ตรงนั้น

ดูๆคร่าวๆทั่วโลกประเทศที่บอกว่ามีประชาธิปไตยตอนนี้มันโดนปกครองโดย Oligarch หรือ Plutocrats กันซะเยอะแล้วน่ะครับ ผมก็ไม่รู้นะครับว่าจะแก้ปัญหาอย่างไร เป็นพวกชอบบ่นแต่ทำไม่เป็นน่ะครับ :-D
สมมุติฐานผมอย่างหนึ่งคือพอคนมีคุณภาพชีวิตพื้นฐานดีแล้วจะถุกเอาเปรียบยาก ขึ้น สามารถรักษาสิทธิตัวเองดีขึ้น ก็เลยได้แต่หวังลึกๆว่าความรู้ทางวิทย์และเทคโนจะทำให้ปัจจัยการดำรงชีวิต มันถูกและดีขึ้นมากๆครับ)

มีแบบจำลองง่ายๆที่แสดงว่า เวลาเราตัดสินใจด้วยการลงมติด้วยเสียงส่วนใหญ่ ถ้าเอาคนฉลาดมารวมกันแล้วลงมติ ผลมักจะดีขึ้นกว่าคนเดียว ถ้าเอาคนโง่มารวมกันแล้วลงมติ ผลมักจะแย่ลง ยิ่งมีคนมารวมกันมากเท่าไรก็ยิ่งทำให้ผลดีขึ้นหรือแย่ลงมากขึ้นเท่านั้น

ถ้าท่านไม่สนใจคณิตศาสตร์กระโดดไปส่วนสรุปด้านล่างเลยครับ

มันเป็นอย่างนี้ครับ เราสมมุติว่ามีคนเป็นจำนวนคี่ = n คน และให้แต่ละคนมีโอกาสตัดสินใจในทางที่ถูกที่ควรด้วยความน่าจะเป็นเฉลี่ย = p และแต่ละคนตัดสินใจอย่างอิสระต่อกัน ดังนั้นโอกาสที่มติประชาธิปไตยจะตัดสินใจถูกก็คือ ความน่าจะเป็นที่คนเกินครึ่ง (หรืออย่างน้อย (n+1)/2 จาก n คน) ตัดสินใจถูก

เรากำหนดว่า probRightChoice(n,p) คือความน่าจะเป็นที่คนอย่างน้อย (n+1)/2 จาก n คนตัดสินใจถูกถ้าแต่ละคนมีโอกาสถูก p ดังนั้น probRightChoice(n,p) = ผลรวมของความน่าจะเป็นที่คน k คนจาก n คนตัดสินใจถูก โดยที่ k เริ่มจาก (n+1)/2 และเพิ่มไปทีละหนึ่งจนถึง n เช่นถ้ามีคนห้าคนมาลงมติ เราก็ต้องดูความน่าจะเป็นที่คน 3, 4, 5 คนตัดสินใจถูกแล้วรวมความน่าจะเป็นเหล่านั้น

คราวนี้ความน่าจะเป็นที่คน k คนจาก n คนตัดสินใจถูก = ความน่าจะเป็นที่คน k คนตัดสินใจถูก คูณด้วยความน่าจะเป็นที่คน n-k คนตัดสินใจผิด คูณด้วยจำนวนแบบที่เป็นไปได้ที่คน k คนตัดสินใจถูกและคน n-k คนตัดสินใจผิด

= p^k (1-p)^n-k C(n,k) โดยที่ C(n,k) = จำนวนแบบที่เป็นไปได้ที่คน k คนตัดสินใจถูกและคน n-k คนตัดสินใจผิด และ C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)

= p^k (1-p)^n-kn!/(k!(n-k)!)

ดังนั้น probRightChoice(n,p) = ผลรวมของ p^k (1-p)^n-kn!/(k!(n-k)!) โดยที่ k เริ่มจาก (n+1)/2 และเพิ่มไปทีละหนึ่งจนถึง n (ดูหน้าตาข้างล่างนะครับ)

ปรากฏว่า ถ้า p มากกว่า 1/2 (ซึ่งแปลว่าคนฉลาด) probRightChoice(n,p) จะมากกว่า p เสมอ ถ้าจำนวนคนลงมติ (n) มีตั้งแต่สามคนขึ้นไป และยิ่ง n มากเท่าไร probRightChoice(n,p) ก็ยิ่งมากกว่า p ขึ้นไปอีก

ในทางกลับกัน ถ้า p น้อยกว่า 1/2 probRightChoice(n,p) จะน้อยกว่า p เสมอ ถ้าจำนวนคนลงมติ (n) มีตั้งแต่สามคนขึ้นไป และยิ่ง n มากเท่าไร probRightChoice(n,p) ก็ยิ่งน้อยกว่า p ลงไปอีก

สรุป

ดังนั้นเราจึงกล่าวว่าประชาธิปไตยจะเป็นเครื่องขยาย เน้นความโง่หรือความฉลาดของผู้ลงมติ

ถ้าต้องการไม่ให้ประชาธิปไตยมาทำร้ายสังคมต้องแน่ใจว่า p มากกว่า 1/2 ครับ ขืนให้พวกโง่/เลวออกเสียง เราจะสิ้นชาติเอา

=== = ==== = ===== =========

*1. ในที่นี้ "ฉลาด" = ตัดสินใจถูกต้อง ตามที่ถูกที่ควร มีประโยชน์ต่อส่วนรวม และ "โง่" = ตัดสินใจไม่เป็นไปตามที่ถูกที่ควร พวกฉลาดแกมโกงเอาประโยชน์ใส่ตัว เบียดเบียนคนอื่นไม่นับเป็นพวก"ฉลาด"ในแบบจำลองนี้ครับ พวกนี้ไม่ควรมีเสียงในการรับใช้และปกครองสังคมที่เจริญแล้ว จริงๆต้องห้ามมายุ่งเกี่ยวกับอำนาจทั้งปวงครับ ชอบทำคนอื่นเดือดร้อน ควรลงโทษให้หนักเช่นโกงเลือกตั้งก็อย่าให้พวกมันทั้งเจ็ดชั่วโคตรมายุ่งกับการเมืองอีก

2. probRightChoice(n,p) มีหน้าตาดูน่ากลัวแบบนี้ครับ (บอกให้ Mathematica ทำให้ครับ):

แต่ความจริงก็เป็นแค่สูตรที่ดูไฮโซของผลรวมบางส่วนของ binomial probability distribution เท่านั้น ถ้ากระจายออกมาสำหรับ n = 1, 3, 5, 7 ก็จะมีหน้าตาบ้านๆดังนี้นั่นเอง:

3. probRightChoice(n,p) มีกราฟหน้าตาอย่างนี้ครับ:

จะเห็นได้ว่าถ้ามีคนมาลงมติมากๆ (เช่น n = 101 ในกราฟข้างบน) ถ้าแต่ละคนมีโอกาสตัดสินใจได้ถูกกว่าครึ่ง (p > 0.5) โอกาสที่มติของที่ประชุมจะถูกต้องสมควรแล้ว จะเข้าใกล้ 100% เลย ในทางกลับกันถ้าแต่ละคนมีโอกาสตัดสินใจถูกน้อยกว่าครึ่ง โอกาสที่มติที่ประชุมจะเข้าท่าจะเกือบไม่มีเลย